Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks
Matematika XI Lanjut

Definisi bilangan kompleks, operasi aljabar pada bilangan kompleks, dan interpretasi geometri bilangan kompleks.

Bilangan Kompleks

1. Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
\[ z = a + bi \] dengan:

\( a \) adalah bagian real
\( b \) adalah bagian imajiner
\( i \) adalah bilangan imajiner dengan sifat \( i^2 = -1 \)

Contoh: \( 3 + 2i \), \( -5 + i \), \( 7 \) (karena bisa ditulis sebagai \( 7 + 0i \))

2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

a. Penjumlahan

\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \] Contoh: \( (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i \)

b. Pengurangan

\[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \] Contoh: \( (5 + 3i) - (2 + i) = 3 + 2i \)

c. Perkalian

\[ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \] Contoh: \( (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i -12 = -10 + 11i \)

d. Pembagian

\[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} \] Contoh: \( \frac{3 + 2i}{1 - i} \)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut:
\[ = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1^2 - i^2} = \frac{3 + 5i -2}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2} = 0.5 + 2.5i \]

3. Interpretasi Geometri Bilangan Kompleks

Setiap bilangan kompleks \( z = a + bi \) dapat direpresentasikan sebagai titik \( (a, b) \) di bidang kompleks.
Modulus dari bilangan kompleks: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] Contoh: Untuk \( z = 3 + 4i \), maka: \[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Argumen adalah sudut antara sumbu real positif dan garis ke titik \( z \): \[ \text{arg}(z) = \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

Latihan Soal Bilangan Kompleks

Level: Mudah

1. Hitung \( (3 + 2i) + (1 + 4i) \)

Jawab: \( 4 + 6i \)

2. Hitung \( (5 + 6i) - (2 + 3i) \)

Jawab: \( 3 + 3i \)

3. Tentukan bentuk konjugat dari \( 4 - 7i \)

Jawab: \( 4 + 7i \)

4. Hitung \( (2 + i)(3 - i) \)

Jawab: \( 6 - 2i + 3i - i^2 = 6 + i + 1 = 7 + i \)

5. Hitung \( |3 + 4i| \)

Jawab: \( \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Level: Sedang

6. Hitung \( (1 + 2i)(1 - 2i) \)

Jawab: \( 1 - 4i^2 = 1 + 4 = 5 \)

7. Tentukan bagian real dari \( 5 - 3i \)

Jawab: 5

8. Tentukan bagian imajiner dari \( -2 + 6i \)

Jawab: 6

9. Hitung \( (3 + 2i)^2 \)

Jawab: \( 9 + 12i + 4i^2 = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i \)

10. Hitung \( \frac{1}{1 + i} \) dalam bentuk a + bi

Jawab: \[ \frac{1}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{1 - i}{1 + 1} = \frac{1 - i}{2} = 0.5 - 0.5i \]

11. Hitung \( |5 - 12i| \)

Jawab: \( \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)

12. Jika \( z = 2 + i \), maka tentukan \( z \cdot \overline{z} \)

Jawab: \( (2 + i)(2 - i) = 4 + 1 = 5 \)

Level: Agak Sulit

13. Hitung \( \frac{2 + 3i}{1 - 2i} \)

Kalikan konjugat: \[ \frac{(2 + 3i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 + 4i + 3i + 6i^2}{1 + 4} = \frac{2 + 7i - 6}{5} = \frac{-4 + 7i}{5} = -0.8 + 1.4i \]

14. Jika \( z = 4 + 3i \), tentukan \( \frac{1}{z} \)

Kalikan konjugat: \[ \frac{1}{4 + 3i} \cdot \frac{4 - 3i}{4 - 3i} = \frac{4 - 3i}{16 + 9} = \frac{4 - 3i}{25} = 0.16 - 0.12i \]

15. Jika \( z = a + bi \), nyatakan \( |z|^2 \)

Jawab: \( |z|^2 = z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 \)

16. Hitung argumen dari \( z = 1 + i \)

Jawab: \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = 45^\circ \) atau \( \frac{\pi}{4} \)

17. Jika \( z = 2 + 2\sqrt{3}i \), hitung modulus \( |z| \)

\[ |z| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \]

18. Nyatakan \( -1 \) dalam bentuk bilangan kompleks

Jawab: \( -1 + 0i \)

19. Diberikan \( z = \sqrt{3} + i \), nyatakan dalam bentuk polar

Modulus: \[ |z| = \sqrt{3 + 1} = 2 \] Argumen: \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = 30^\circ \] Bentuk polar: \[ z = 2\text{cis }30^\circ \]

20. Hitung \( (1 + i)^4 \)

\[ (1 + i)^2 = 2i \Rightarrow (2i)^2 = -4 \Rightarrow Jawab: -4 \]

Video Eksponen dan Logaritma